Question

高二数学急求答案

已知函数f(x)=(x^2+2x)/(x+1) g(x)=2ln(x+1)-mf(x) 当x>=0时恒有g(x)<=0 求m的取值范围。请写详细过程，谢谢

Answer 1

解：f(x))=(x^2+2x)/(x+1) =x+1-1/(x+1)

     则g(x)=2ln(x+1)-m(x+1)+m/(x+1)

     令 x+1=t ∵x≥0  ∴t≥1

     g(x)转变为h(t)=2lnt-mt+m/t  t≥1

     则g(x)≤0即h(t)≤0,即h(t)最大值小于0

     h'(t)=2/t-m-m/(t^2)=－(mt^2-2t+m)/(t^2)

 ⑴当m=0时，h(t)=2lnt，h'(t)=2/t>0恒成立

     ∴h(t)在[1,+∞）上单调递增

     ∵当t→+∞时,h(t)=2lnt>0与题意矛盾，故舍去

 ⑵当m<0时mt^2+m=m(t^2+1)<0,-2t<0 则 h'(t)>0

    ∴h(t)在[1,+∞）上单调递增

    ∵h(1)=0 ∴h(t)≥0恒成立与题意矛盾，故舍去

 ⑶当m>0时，令m(t^2+1)-2t>0得m>2t/(t^2+1)即m>2/(t+1/t)

    ∵t+1/t≥2当且仅当t=1时取“=”

    ∴2/(t+1/t)≤1   

   ①若m≥1时， h'(t)=2/t-m-m/(t^2)=－(mt^2-2t+m)/(t^2)≤0

      ∴h(t)在[1,+∞）上单调递减

      ∵h(1)=0 ∴h(t)≤0恒成立

   ②若0<m<1时，令h'(t)=－(mt^2-2t+m)/(t^2)=0得 t=[1+√（1+m^2)]/m

      令h'(t)>0得1≤t<[1+√（1+m^2)]/m

      令h'(t)<0得t>[1+√（1+m^2)]/m

      ∴当t=[1+√（1+m^2)]/m时，h(t)取极大值也是最大值

      ∴h([1+√（1+m^2)]/m)≤0即2ln([1+√（1+m^2)]/m)-2[1+√（1+m^2)]≤0

      得当0<m<1成立

• 综上，m的取值范围为（0，+∞）

Answer 2

g(x)=2ln(x+1)-mf(x)=g(x)=2ln(x+1)-m(x^2+2x)/(x+1)
g(0)=2ln1-m*0/1=0
g'(x)=2/(x+1)-m(x^2+2x+2)/(x+1)^2
=[2(x+1)-m(x^2+2x+2)]/(x+1)^2
当x>=0时恒有g(x)<=0
且g(0)=0
∴g(x)在x>=0时是减函数
即2(x+1)-m(x^2+2x+2)<=0
m(x^2+2x+2)-2(x+1)>=0
mx^2+2(m-1)x+2(m-1)>=0
m=0时
-2x-2>=0
与x>=0矛盾
舍去
m≠0时
m>0
且Δ=4(m-1)^2-8m(m-1)<=0
(m-1)(m+1)>=0
∴m<=-1或m>=1
m的取值范围(-∞,-1]∪[1,∞)
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