Question

对坐标的曲线积分∫LPdx+Qdy如何化为一元定积分来计算？

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Answer 1

郭敦顒回答：
∫LPdx+Qdy化为一元定积分——
1，向量式方法：
∫LPdx+Qdy
=∫LP（x，y）dx+Q（x，y）dy
=∫L向量F•向量ds
其中，向量F=Pi+Qj，向量ds=dxi+dyj。
2，参数式方法
设P（x，y）+Q（x，y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为：
x=φ（t），y=ψ（t），
当参数t单调地由α变到β时，点M（x，y）从L的起点A到终点B，φ（t），ψ（t）在以α和β为端点的闭区间内有一阶导数，且φ″（t）+ψ″（t）≠0，则曲线积分∫LP（x，y）dx+Q（x，y）dy存在，
∫LP（x，y）dx+Q（x，y）dy
=∫α→β {P[φ（t），ψ（t）] φ′（t）+ P[φ（t），ψ（t）] ψ（t）′}dt。
3，一般式方法
L的起点为a，终点为b，
（1）当L：y=y（x）时，
∫L P（x，y）dx+Q（x，y）dy
=∫La→b {P[x，y（x）] y′（x）+Q[（x，y（x）]y′（x）} dx；
（2）当L：x=x（y）时，
∫L P（x，y）dx+Q（x，y）dy
=∫La→b {P[x（y），y）] x′（y）+Q[（x（y），y）] x′（y）} dy。

Answer 2

就是将L的式子带入积分式中，即变成了一元积分。
例如：∫p(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫P(x,x^2)dx+Q(x,x^2)d(x^2)
(积分区域L=x^2)
不过积分区域是有顺序的