Question

求∫（上面1，下面-1）(x+根号1+x^2)^2dx

Answer 1

）(x+根号1+x^2)^2=x^2+2x根号(1+x^2)+1+x^2=2x^2+2x根号(1+x^2)+1
原式=(2/3x^3+x)
[-1,1]
+
∫（上面1，下面-1)2x根号(1+x^2)dx
=10/3+后面一部分
后面一部份中,f(x)=2x根号(1+x^2)
f(-x)=-f(x)是奇的,所以在对称的[-1,1]区间,积分肯定为0
所以:原式=10/3

Answer 2

你题目是不是写错了？？那个根号里的应该是减号吧？
是减号的话就可以这么用，arcsinx的导数是1/√(1
-
x²)，但这个积分不是先进行这一步
∫
xarcsinx/√(1
-
x²)
dx
=
∫
arcsinx/√(1
-
x²)
d(x²/2)，而是先把x凑上去
=
(-
1/2)∫
arcsinx/√(1
-
x²)
d(1
-
x²)
=
-
1∫
arcsinx
d√(1
-
x²)，再把√(1
-
x²)搬上来
=
-
√(1
-
x²)arcsinx
+
∫
√(1
-
x²)
d(arcsinx)
=
-
√(1
-
x²)arcsinx
+
∫
√(1
-
x²)
*
1/√(1
-
x²)
dx
=
-
√(1
-
x²)arcsinx
+
∫
dx
=
-
√(1
-
x²)arcsinx
+
x
+
c
因为如果你先进行∫
xarcsinx
d(arcsinx)
=
(1/2)∫
x
d(arcsinx)²
下一步就会出现∫
(arcsinx)²
dx，这个不是更难处理吗？