为什么n阶行列式的元素都是1和-1,那么行列式的值是偶数

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允夏菡悉启
2020-05-02 · TA获得超过3万个赞
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有题设知,n阶行列式的元素都是1和-1,则由行列式的基本性质(计算行列式的常用方法)(把一行的倍数加到另一行,行列式不变,对换行列式中两行的位置,行列式反号,如果哦噢噢行列式中两行成比例,那么行列式为零)知。无论经过如何的初等变换,最终只会剩下作为基准的一行(或一列)是1和-1,其他均为2或0或-2,由此行列式的展开式中每项都会变成(-1)r(j1j2j3j4…jn)(这个指的是逆序数我不会打……)在乘以2或0或-2这三个数字的组合乘积。由此,无论组合如何,行列式的值都将会是偶数。
我承认这个证明有些混乱,不过我想大体思路应该是这样,楼主可以自己整理整理语句,应该没什么问题的~
揭鸿煊潭卿
2020-05-02 · TA获得超过2.9万个赞
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根据n阶行列式的定义,其值应该是n!个数相加(第一列的元素取法有n种,第二列就有n-1种……,最后一列只有一种,用排列组合的话,很好理解)而这n!个数,是(-1)^t*行列式中元素的积(这些元素来自不同行,不同列,而t决定于这些元素在行列式中的位置)可见,这n!个数只可能是1,或-1,再加上n!是偶数(n>1时)可见行列式的值是偶数。
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巫马弘扬刑澈
2020-05-02 · TA获得超过3.1万个赞
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因为整数乘以整数得整数,整数加上整数得整数。行列式展开式中各项都由整数(1、0、-1等)相乘而得,所以各展开项都是整数,而行列式最后由各展开项相加而得,所以行列式为整数。
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图门思粟虹
2020-05-01 · TA获得超过3.3万个赞
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不是吧,
n
=
1的时候,行列式要么是1,要么是-1.是奇数啊。
n
>=
2的时候,就像
红莲冰雪剑
说的。
让其中的2行相加,行列式的值不变。而被加的那一行的元素都是偶数了。
再按都是偶数的这一行把行列式展开,因此,行列式的值一定是偶数了。
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zhksh2
2020-05-02 · TA获得超过537个赞
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数学归纳法:

设n阶行列式为A,元素皆为正负1.

n=1时不算在内.
n=2时,显然成立.

假设n=k时成立.

则n=k+1时,行列式A按照第一行展开:

A=a11*A11*(-1)^(1+1)+...+a1i*A1i*(-1)^(1+i)+...+a1n*A1n*(-1)^(n+1)

根据数学归纳法,上式中所有的A1i,也就是A中的元素a1i在行列式中的余子式,这些A1i都是元素为正负1的阶数>=2的行列式。根据归纳假设,A1i都为偶数。而这些偶数的组合,A,也必然为偶数。

根据归纳原理,所有元素为正负1的行列式,值都为偶数。

证明完毕。
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