为什么n阶行列式的元素都是1和-1,那么行列式的值是偶数
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根据n阶行列式的定义,其值应该是n!个数相加(第一列的元素取法有n种,第二列就有n-1种……,最后一列只有一种,用排列组合的话,很好理解)而这n!个数,是(-1)^t*行列式中元素的积(这些元素来自不同行,不同列,而t决定于这些元素在行列式中的位置)可见,这n!个数只可能是1,或-1,再加上n!是偶数(n>1时)可见行列式的值是偶数。
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因为整数乘以整数得整数,整数加上整数得整数。行列式展开式中各项都由整数(1、0、-1等)相乘而得,所以各展开项都是整数,而行列式最后由各展开项相加而得,所以行列式为整数。
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不是吧,
n
=
1的时候,行列式要么是1,要么是-1.是奇数啊。
n
>=
2的时候,就像
红莲冰雪剑
说的。
让其中的2行相加,行列式的值不变。而被加的那一行的元素都是偶数了。
再按都是偶数的这一行把行列式展开,因此,行列式的值一定是偶数了。
n
=
1的时候,行列式要么是1,要么是-1.是奇数啊。
n
>=
2的时候,就像
红莲冰雪剑
说的。
让其中的2行相加,行列式的值不变。而被加的那一行的元素都是偶数了。
再按都是偶数的这一行把行列式展开,因此,行列式的值一定是偶数了。
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数学归纳法:
设n阶行列式为A,元素皆为正负1.
n=1时不算在内.
n=2时,显然成立.
假设n=k时成立.
则n=k+1时,行列式A按照第一行展开:
A=a11*A11*(-1)^(1+1)+...+a1i*A1i*(-1)^(1+i)+...+a1n*A1n*(-1)^(n+1)
根据数学归纳法,上式中所有的A1i,也就是A中的元素a1i在行列式中的余子式,这些A1i都是元素为正负1的阶数>=2的行列式。根据归纳假设,A1i都为偶数。而这些偶数的组合,A,也必然为偶数。
根据归纳原理,所有元素为正负1的行列式,值都为偶数。
证明完毕。
设n阶行列式为A,元素皆为正负1.
n=1时不算在内.
n=2时,显然成立.
假设n=k时成立.
则n=k+1时,行列式A按照第一行展开:
A=a11*A11*(-1)^(1+1)+...+a1i*A1i*(-1)^(1+i)+...+a1n*A1n*(-1)^(n+1)
根据数学归纳法,上式中所有的A1i,也就是A中的元素a1i在行列式中的余子式,这些A1i都是元素为正负1的阶数>=2的行列式。根据归纳假设,A1i都为偶数。而这些偶数的组合,A,也必然为偶数。
根据归纳原理,所有元素为正负1的行列式,值都为偶数。
证明完毕。
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