Question

复变函数 关于留数的计算

Answer 1

两种都可以啊，
结果也都是-1
第一种，
Res(2kπi)=lim(z->2kπi)
(z-2kπi)/(1-e^z)=lim(z->2kπi)
1/(-e^z)=
-1
其中k=0，±1、、、、、、、、
第二种，p(z)=1，q(z)=1-e^z
直接带入后可得到留数为-1

Answer 2

由于被积函数f(z)=tanπz=sinπz/cosπz的奇点是分母等于0的点，而使分母cosπz=0又在c:|z|=1内的点只有l两个点：
z=1/2和z=-1/2；再根据孤立奇点的分类判定可知：z=1/2和z=-1/2是被积函数f(z)=tanπz的一级极点.
利用一级极点求留数的方法可以知道：
res(tanπz,1/2)=-
sin(π/2)/[πsin(π/2)]=-1/π；
res(tanπz,-1/2)=-
sin(-π/2)/[πsin(-π/2)]=-1/π；
因此利用留数基本定理可知：
∮tanπzdz=2πi
[res(tanπz,1/2)+res(tanπz,-1/2)]
=2πi
[-1/π+(-1/π)]
=-4i.
祝周末愉快！