Question

若a整除n,b整除n,且存在整数x,y使得ax+by=1,证明ab整除n

快点，谢谢

Answer 1

假设n=sa=tb，(s,t∈Z)，
ax+by=1——》x/b+y/a=1/ab
——》n/ab=n(x/b+y/a)=nx/b+ny/a=tx+sy，
t、x、s、y均为整数，所以tx+sy为整数，
——》ab整除n。

Answer 2

证明 假设ab不能整除n 设Ma=n，Nb=n （M，N为整数） Cab=n
由假设可知C不为整数
a=n/M，b=n/N，ab=n^2/MN又因为Cab=n 所以C=MN/n
ax+by=1可变为（n/M）x+（n/N）y=1
整理得
nNx+nMy=MN，
Cab=n，C=MN/n
将MN带入得
C=Nx+My 其中MNxy均为整数
C为整数 与假设向左
所以C为整数 即ab整除n