Question

1,2,3,4,5,6编号不同的小球依次放入具有相同编号盒子中，小球与盒子的编号完全不相同有几种

Answer 1

解：假设A
n
为：有n个编号为1，2，……，n的小球放入n个编号为1，2，……，n的盒子，而且小球与盒子的编号都不相同的放法种数。

1）当n
=
1时，A
1
为：有1个小球放入1个盒子，且小球与盒子的编号都不相同的放法种数，显然A
1

=
0
；

2）当n
=
2时，A
2
为：有2个小球放入2个盒子，且小球与盒子的编号都不相同的放法种数，显然A
2

=
1
；

3）当n
=
3时，A
3
为：有3个小球放入3个盒子，且小球与盒子的编号都不相同的放法种数，A3＝2
；

考虑求出A
n+1
的值：如果现在有
n个小球已经按照小球与盒子的编号都不相同的方法放好，种数为A
n
。取其中的任意一种，将第n
+
1个小球和第n
+
1个盒子拿来，将前面n个盒子中的任意一个盒子(比如第i个盒子)中的小球(肯定不是编号为i的小球)放入第n
+
1个盒子，将第n
+
1个小球放入刚才空出来的盒子，这样的放法都是合理的，所以一共有nA
n
种不同的放法。但是，除了前面这些情况以外还有：编号为i的小球放入第n
+
1个盒子中的情况，当编号为i的小球放入第n
+
1个盒子中，那么编号为n
+
1的小球放入第i个盒子中，其余的n
–
1个小球与盒子的编号都不相同。所以又有nA
n-1
种情况是符合题意的。

综上所述，可得A
n+1
=
nA
n

+
nA
n-1

=
n(A
n

+
A
n-1
)
；

因为A
1

=
0，A
2

=
1，所以A
3

=
2(A
2

+
A
1
)
=
2
；A
4

=
3(A
3

+
A
2
)
=
9
；A
5

=
4(A
4

+
A
3
)
=
44
；A
6

=
5(A
5

+
A
4
)
=
5*(44
+
9)
=
265种。

所以，小球与盒子的编号完全不相同的放法有
265
种
。