Question

数列﹛an﹜的各项为正数，前n项和为Sn,且Sn=an(an+1)/2

①求证：﹛an﹜为等差数列
②设bn=1/2Sn,Tn=b1+b2+……+bn,求Tn
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Answer 1

1）Sn=1/2(an^2+an)
S(n-1)=1/2(a(n-1)^2+a(n-1))
两式相减，得
an=1/2(an^2-a(n-1)^2+an-a(n-1))
即(an+a(n-1))(an-a(n-1)-1)=0
因为an>0
所以an-a(n-1)-1=0
即{an}是等差数列，公差为1
2）S1=1/2(a1^2+a1)=a1
解得a1=1
所以an=n
Sn=(n^2+n)/2
bn=1/(n^2+n)=1/n-1/(n+1)
所以Tn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)=n/(n+1)