Question

如何证明正弦定理、余弦定理？

Answer 1

下面a、b、c都表示向量,|a|、|b|、|c|表示向量的模
因为a=b-c
所以a^2＝(b-c)^2
=
b^2
+c^2
-2*bc
所以|a|^2＝|b|^2
+
|c|^2
-2*|b|*|c|*cosa
其它以此类推。
如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°－A，j与向量CB的夹角为90°－C
由图1，AC+CB=AB（向量符号打不出）
在向量等式两边同乘向量j,得·
j·AC＋CB=j·AB
∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
=│j││AB│cos(90°-A)
∴asinC=csinA
∴a/sinA=c/sinC
同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得
c/sinC=b/sinB
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
注:向量符号打不出