Question

数列an中,a1=1,Sn为数列an的前n项和,n>2时an=3Sn,则Sn=?

Answer 1

解：∵n>2时，a[n]=3S[n]
∴a[n+1]=3S[n+1]=3a[n+1]+3S[n]=3a[n+1]+a[n]
即：a[n+1]/a[n]=-1/2
∵a[1]=1，a[2]=3(a[2]+a[1])
∴a[2]=-3/2
∵a[3]=3(a[3]+a[2]+a[1])
∴a[3]=3/4
∴{a[n]}是从第三项开始首项为3/4，公比为-1/2的等差数列
即：a[n+2]=(3/4)(-1/2)^(n-1)=3(-1/2)^(n+1)
当n=0代入上式，得：a[2]=-3/2，和递推式的计算一致
当n=-1代入上式，得：a[1]=3，和递推式的计算不一致，差值为2
∴{a[n]}通项公式是：
a[1]=1和a[n+1]=3(-1/2)^n
设b[n]=3(-1/2)^(n-1)
则：a[1]=b[1]-2
以及
a[n]=b[n](n>1)
∴S[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]
={b[1]+b[2]+b[3]+...+b[n]}-2
=3[1-(-1/2)^n]/[1-(-1/2)]-2
=2[1-(-1/2)^n]-2
=(-1/2)^(n-1)
【其实题设条件：n＞2，可以为n≥2】