Question

已知f(x)=aX²+bx(a≠0) (1)设a>0时,a+b=1解关于x的不等式f(x)<1(用a表示)

已知f(x)=aX²+bx(a≠0)
(1)设a>0时,a+b=1解关于x的不等式f(x)<1(用a表示)；
(2)当a=-2时，若存在x0属于[2,4]，使得不等式f（x0）＞b+1成立，求实数b的取值范围；
(3)若-1≤f（-1）≤2，2≤f（1)≤4，且ac²+bc-b=0，求实数b的取值范围.

Answer 1

(1)a>0时,a+b=1,f(x)=aX²+(1-a)x<1，即aX²+(1-a)x-1<0，解得-1/a<x<1；
(2)当a=-2时，若存在x0属于[2,4]，使得不等式f（x0）＞b+1成立，
即-2X²+bx>b+1在区间[2,4]上有解，即b(x-1)>2X²+1在区间[2,4]上有解，
即b>(2X²+1)/(x-1)在区间[2,4]上有解，只要b大于(2X²+1)/(x-1)在区间[2,4]上的最小值。
令t=x-1，则(2X²+1)/(x-1)=2t+3/t+4，由基本不等式得它>=4+2√6，
当且仅当t=√(3/2)，即x=1+√(3/2)时取等号，所以b>4+2√6。
(3)-1≤f（-1）≤2即-1≤a-b≤2(Ⅰ)，
2≤f（1)≤4即2≤a+b≤4(Ⅱ)，
根据上两式由线规划的方法作图，可得符合条件的(a,b)分布在发(0.5,1.5),(2,0),(1.5,2.5),(3,1)为正方形内，其中0.5<=a<=3，0<=b<=2.5。
又ac²+bc-b=0，将这个式子看成以c为未知数的一元二次方程，
此式要成立，则根的判别式b^2+4ab>=0，上面正方形区域内的点全符合此条件，
所以b的取值范围是区间[0,2.5]