Question

设入1入2 是矩阵A的两个不同的特征值，a1a2 分别属于特征值入1入2 的特征向量，证明：a1a2 线性无关

谢谢老师

Answer 1

设 k1a1+k2A(a1+a2)=0 则 k1a1+k2λ1a1+k2λ2a2=0 即 (k1+k2λ1)a1+k2λ2a2=0 由于属于不同特征值的特征向量线性无关 所以 k1+k2λ1=0 k2λ2=0 此齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是λ2≠0 即有 a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是λ2≠0

Answer 2

反证吧：假设线性相关,设k*a1=a2 （k不等于0）
入1*a1=A*a1
入2*a2=A*a2=A*(k*a1)=k*(A*a1)=k*入1*a1
得到a1=入2/(k*入1)*a2
最初我们假设a1=a2/k，所以入2/(k*入1)=1/k =>入1/入2=1，与题中入1入2不同矛盾，故a1a2 线性无关

Answer 3

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