Question

高中数学应用题

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中，环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=|x/(x^2+1)-a|+2a+2/3,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数，且a∈[0,1/2],若用每天f(x)最大值当做当天综合放射性污染指数，并记作M(a)
(1)令t=x/(x^2+1),x∈[0,24].求t的取值范围。
(2)省政府规定，每天的综合放射性，污染指数，不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

Answer 1

望采纳。

Answer 2

解：(1)当x=0时，t=0；当0<x≦24时，1/t=x+1/x.
对于函数y=x+1/x，∵y′=1-1/x²
∴当0<x<1时，y<0 函数y=x+1/x单调递减；
当1＜x≦24时，y>0 函数y=x+1/x单调递增。
∴y∈[2,﹢∞). 综上，t∈[0,1/2]
(2)当a∈[0,1/2]时，f(x)=g(t)=丨t-a丨+2a+2/3=﹛3a-t+2/3,0≦t≦a；t+a+2/3,a≦t≦1/2.
∵g(0)=3a+2/3 g(1/2)=a+7/6 g(0)-g(1/2)=2a-1/2
∴M(a)=﹛g(1/2),0≦a≦1/4；g(0),1/4<a≦1/2 .=﹛a+7/6 ,0≦a≦1/4；3a+2/3,1/4<a≦1/2
当且仅当a≦4/9时，M(a)≦2
∴a∈[0,4/9]时不超标，a∈(4/9,1]时超标