Question

求∑(n=1~∞)nX^(n-1)和函数

我这有两种方法，那个对？
法一：
令an=nx^(n-1) 由a(n+1)/an=(n/(n-1))*x<1可得|x|<1 所以收敛域为：|x|<1Sn=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)xSn=1x+2x^2+3x^3+...+nx^n相减得：(1-x)Sn=1+x+x^2+....+x^(n-1)-nx^n =1+(x(-1x^(n-1)))/(1-x)-nx^n取极限可得S=1+x/(1-x)=1/(1-x) S即为和函数
法二：





Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

你的方法一是错的。方法二好像不用那么长。我来写写看：
易求得该级数的收敛域为 |x|<1，记
f(x) = ∑(n=1~∞)nx^(n-1)，
逐项积分，得
　 ∫[0,x]f(t)dt =Σ(n=1~inf.) n∫[0,x][t^(n-1)]dt
　= Σ(n=1~inf.) (x^n)
= 1/(1-x)-1，-1<x<1，提交回答
求导，即得
　f(x) = 1/(1-x)^2 ，-1<x<1。

追问

我就是用的方法二，和你做的一样，但是网上的答案都是方法一，而且还在一套考试题中是标准答案，我觉得是扯淡，就问了问