Question

重要极限x→0时 （1+x）^1/x 怎么泰勒展开？

Answer 1

泰勒展开太复杂了。
函数属于幂指函数u^v，一般做法是化为复合函数e^(u*lnv)，这里(1+x)^(1/x)=e^(ln(1+x)/x)。
ln(1+x)=x-1/2*x^2+1/3*x^3+...，
ln(1+x)/x=1-1/2*x+1/3*x^2+...，
e^(ln(1+x)/x)=e^(1-1/2*x+1/3*x^2+...)=e×e^(-1/2*x)×e^(1/3*x^2)×...。每一个指数函数都可以展开，只是合并过程太复杂。

换一做法，求函数(1+x)^(1/x)=e^(ln(1+x)/x)的任意阶导数，按照直接展开法来做，也不简单。

追问

其实我是想问这个题咋做  我看别人直接把分子展开成

对吗

追答

这个展开不知道怎么来的，我要做的话，用洛必达法则

追问

罗比达我也试过 用一次罗比达后还是出不来 必须在用罗比达 但是再用罗比达我就不会了
http://tieba.baidu.com/p/2442857985 我在考研吧里看到的