Question

已知函数f(x)=根号[mx^2+(m-3)x+1]的值域是[0，正无穷），则实数m的取值范围是？

为什么判别式要大于等于零而不是小于等于

Answer 1

答：
f(x)=√[mx²+(m-3)x+1]的值域是x>=0
所以：g(x)=mx²+(m-3)x+1>=0
当m=0时，g(x)=1-3x>=0，x<=1/3，符合题意。
当m<0时，抛物线g(x)必须开口向下，存在最大值，
函数f(x)无法取得正无穷值域，所以假设不成立。
当m>0时，抛物线g(x)开口向上，必须保证抛物线
与x轴有零点才能保证g(x)的值域为[0,+∞)
所以：判别式=(m-3)²-4m>=0
所以：m²-10m+9>=0
所以：m>=9或者0<m<=1

综上所述，0<=m<=1或者m>=9时，f(x)的值域为[0,+∞)

本题要求的是值域，不是定义域x

追问

判别式小于等于零也是存在零点的情况啊，画图来看不应该是小于等于零吗？麻烦针对这个讲详细点，谢谢

追答

等于0的时候有零点我相信。你先给我说说判别式小于0的时候怎么会有零点？
不然我说一万遍你也不相信的

追问

在x轴上方啊...不就是小于等于零？

追答

那么有零点吗？

追问

没有...那判别式大于等于零不就不满足mx²+(m-3)x+1>=0了吗？...

追答

判别式只是用来判断抛物线与x轴是否存在交点。
判别式大于或者等于0的时候，表示抛物线与x轴必定有交点
有交点的情况下，那么函数的值肯定能取到0，也可能可以
得到负数的函数值，也可能得到正的函数值。

不要把判别式的正负用来判断函数值的正负。
你一定要有清晰的概念，哪个东西是用来干什么的，不要混淆了。

追问

嗯嗯，晓得了，谢谢。