Question

求解下列极限

求下列极限，需要过程，感谢

Answer 1

首先，一阶微分方程  积分因子是  ，于是，对



我们乘以  知

 导数为  ，又  ，于是



假定  存在，那么固定  ，积分号取极限，我们知这个极限函数  满足



于是依次有







从  到  积分，我们有



如果记  ，那么这个映射的不动点就是 

于是我们取该函数为控制函数

用数学归纳法先证明  单调递增，这是因为如果假定  ，就有



再次使用数学归纳法，假定  ，我们有



从而  存在。

Answer 2

(1)
lim(x->0) xsinx/(1-cosx)

=lim(x->0) x^2/[(1/2)x^2]
=2
(2)
lim(x->1) sin(x^2-1)/(x-1)
=lim(x->1) (x^2-1)/(x-1)
=lim(x->1) (x+1)(x-1)/(x-1)
=lim(x->1) (x+1)
=2