Question

用多元微分法求xoy面上椭圆x^2+2xy+5y^2-16y=0到直线x+y-8=0的最短距离

用多元微分法求xoy面上椭圆x^2+2xy+5y^2-16y=0到直线x+y-8=0的最短距离。求答案图

Answer 1

考虑距离的平方，即f(x,y,λ)=(x+y-8)^2/2-λ(x^2+2xy+5y^2-16y)

要使f(x,y)取极值，则：

af/ax=(x+y-8)-λ(2x+2y)=0 (1)

af/ay=(x+y-8)-λ(2x+10y-16)=0 (2)

af/aλ=x^2+2xy+5y^2-16y=0 (3)

(1)-(2)得：λ(y-2)=0

如果y=2，则代入(3)得x=2或-6，进一步得λ=-1/2或3/2（其实根本没必要算λ）

计算得f(2,2,-1/2)=8,f(2,-6,3/2)=72

如果λ=0，则x+y-8=0，与(3)联立得y^2-4y+16=0，无解

综上dmin=2√2

几何性质

X，Y的范围

当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b

当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a

对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

Answer 2

考虑距离的平方，即f(x,y,λ)=(x+y-8)^2/2-λ(x^2+2xy+5y^2-16y)
要使f(x,y)取极值，则：
af/ax=(x+y-8)-λ(2x+2y)=0 (1)
af/ay=(x+y-8)-λ(2x+10y-16)=0 (2)
af/aλ=x^2+2xy+5y^2-16y=0 (3)
然后就是解方程组。。。
(1)-(2)得：λ(y-2)=0
如果y=2，则代入(3)得x=2或-6，进一步得λ=-1/2或3/2（其实根本没必要算λ）。计算得f(2,2,-1/2)=8,f(2,-6,3/2)=72
如果λ=0，则x+y-8=0，与(3)联立得y^2-4y+16=0，无解
综上，f(x,y,λ)min=f(2,2,-1/2)=8
所以dmin=2√2

Answer 3

假设直线x+y-8=0的平行线为Y=-X+B，代入x^2+2xy+5y^2-16y=0，令DELTA为0，与椭圆相切，，然后求平行线距离