Question

已知函数f(x)=1/2(2^x+2^-x),求f(x)的定义域，值域，并确定函数的奇偶性，单调性

已知函数f(x)=1/2(2^x+2^(-x)),求f(x)的定义域，值域，并确定函数的奇偶性，单调性

Answer 1

答：

f(x)=(1/2)[2^x+2^(-x)]

=(1/2)*(2^x+1/2^x)

>=(1/2)*2*√[(2^x)*1/2^x]

=1

f(-x)=(1/2)[2^(-x)+2^x]=f(x)

令m=2^x>0，f(m)=(1/2)(m+1/m)

求导：f'(m)=(1/2)(1-1/m²)

解f'(m)=0得：m=1(m=-1<0与m>0矛盾舍弃）

所以：m=2^x=1，x=0

当m<1即x<0时，f'(m)<0，f(m)是减函数；

当m>1即x>0时，f'(m)>0，f(m)是增函数。

所以：

定义域为实数范围R

值域为[1,+∞)

f(x)是偶函数。

x<0时，f(x)单调递减；x>0时，f(x)单调递增。

Answer 2

定义域为R
∵2^x>0
∴2^x+2^(-x)≥2
当2^x=1时即x=0时取得最小值2
∴f(x)的值域为[1,+∞)
∵f(-x)=0.5[2^(-x)+2^(x)]=f(x)
∴f(x)是偶函数

f(-x)=0.5[2^(-x)+2^x]=f(x)
令t=2^x>0，f(t)=0.5(t+1/t)
求导：f'(t)=0.5(1-1/t²)
解f'(t)=0得：t=1(t=-1<0与t>0矛盾舍弃）
所以：t=2^x=1，x=0
当t<1即x<0时，f'(t)<0恒成立
∴单调递增区间为(0,+∞)
当t>1即x>0时，f'(t)>0恒成立
∴单调递减区间为(-∞,0)

Answer 3

解：因为f(-x)=1/2[2^(-x)＋2^x]=f(x)，所以f(x)为偶函数，定义域为R，因为2^x＋2^(-x)大于等于2×√[2^x＋2^(-x)]=2，所以当2^x＋2^(-x)=2时，y最小，最小值为y=1，所以值域为[1,正无穷大]