多元函数中可微与可导的直观区别是什么?
多元函数可微必可导。
例如：
设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x处存在导数y'=f'(x),则称y在x=x处可导。
如果一个函数在x处可导，那么它一定在x处是连续函数。
如果一个函数在x处连续，那么它在x处不一定可导。
函数导数定义
如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f'(x)。
如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f'(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。
若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'或者f′(x)。
直观区别是：可微代表的是在定义域内函数是连续的，但是可导不仅仅要满足连续性，还需要满足别的条件从两边向中间不断的微分，得到的导数值必须相同。
在多元的情况下，可微可导的关系要比在一元情况下复杂，但是只是要复杂一些，如果我们从一元开始去理解，你会发现并不困难。
这篇文章主要阐述以下三个概念：
偏微分，偏导数，全微分。
全导数这里暂时不讲，看名字好像和全微分关系很大，其实和“方向导数”的关系更大，所以留到讲“方向导数”的时候再一起来说。
1.偏微分
在一元函数中的微分就是函数的切线：
关于微分就是切线，我写的很多文章都希望大家可以理解这一点，虽然要严格讲清楚需要微分几何、流型的知识，但是我认为掌握了这一点对于我们学习微积分很有帮助。
我们发挥一下空间想象力，把它从平面中拽出来，进入三维空间：之前是平面曲线，现在是空间曲线。切线仍然是切线，微分仍然是微分。
我们再想象一下，其实这个空间曲线是 这个空间平面与 这个空间曲面的交线：
我们就把这个切线称为 对于 的偏微分。为什么是对于的呢？因为这是交线，在这条线上无论点怎么变化，都要满足 ，即是常数不会变化。
这些交线上的点的切线都是关于的偏微分。
总结，偏微分就是：
固定，变换 得到的就是关于的偏微分，固定，变换得到的就是关于的偏微分。
2.偏导数
偏微分理解了偏导数就好理解了，就是偏微分的斜率，现在你应该可以明白为什么我们在求 对于 的偏导数的时候，我们把 当作常数来看待了吧。
只是有一点需要说明，在三维空间中角度可以有不同的定义，计算斜率的时候我们是看下面这个 角：
总结，偏导数就是偏微分的斜率。
3.全微分
其实，不光是 或者 这样的平面可以和 相交得到交线，所有和 平面垂直的平面都相交得到交线，这些交线都会有切线（微分）：
总结，全微分就是：360°微分都存在，且这些微分要共面，得到的就是全微分。
4.全微分与偏导数、偏微分的关系
根据全微分的定义，如果全微分存在，那么偏导数、偏微分一定存在。
但是反过来不一定成立，即偏导数、偏微分存在，全微分不一定存在。因为偏导、偏微分只是 或者 方向的导数、微分，而全微分要求的是360°无死角。
数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休，这是数学家华罗庚说过的话，学数学时一定要做到数形结合。
微分、求导这些概念的思想，都是用一个线性变换来逼近一个可能是非线性的映射。
以二元函数为例，一个可微的二元函数在三维空间可以直观表现为一张“光滑”的曲面；而一个仅仅“可导”的二元函数，它所表现的曲面不但不一定光滑，甚至都有可能是不连续的。
背景
人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。
但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。
例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。
