Question

x,y属于R+,x+y=1,[x平方/(x+2)+y平方/(y+1)]最小值

不用求导，用高一知识解

Answer 1

∵x＋y＝1，∴x＝1－y。
∴x^2/（x＋2）＋y^2/（y＋1）
＝［x^2（y＋1）＋y^2（x＋2）］/［（x＋2）（y＋1）］
＝（x^2y＋x^2＋xy^2＋2y^2）/（xy＋x＋2y＋2）
＝［xy（x＋y）＋x^2＋2y^2］/（xy＋y＋3）
＝（xy＋x^2＋2y^2）/［（1－y）y＋y＋3］
＝［x（y＋x）＋2y^2］/（y－y^2＋y＋3）
＝（1－y＋2y^2）/（3＋2y－y^2）。

令x^2/（x＋2）＋y^2/（y＋1）＝k，则：（1－y＋2y^2）/（3＋2y－y^2）＝k，
∴1－y＋2y^2＝3k＋2ky－ky^2，∴（2＋k）y^2－（1＋2k）y＋1－3k＝0。
∵y是正实数，∴（1＋2k）^2－4（2＋k）（1－3k）≧0，
∴1＋4k＋4k^2－4（2－6k＋k－3k^2）≧0，∴1＋4k＋4k^2－8＋20k＋12k^2≧0，
∴16k^2＋24k－7≧0，∴（4k）^2＋6×（4k）＋9≧16，∴（4k＋3）^2≧16。

∵x、y都是正数，∴k是正数，∴由（4k＋3）^2≧16，得：4k＋3≧4，∴k≧1/4。
∴［x^2/（x＋2）＋y^2/（y＋1）］的最小值为1/4。