Question

平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)右焦点的直线

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)右焦点x+y-根号3=0交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1/2
（Ι）求M的方程
（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形的最大值。
解析中说：“设A（x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0),则有（y2-y1)/（x2-x1）=-1”
（y2-y1)/（x2-x1）=-1是怎么来的？不像是两点式也不像点斜式。

Answer 1

你好，因为A,B是x+y-√3=0上的点，所以斜率=-1

所以AB连线的斜率也是-1

这是（y2-y1)/（x2-x1）求斜率公式

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Answer 2

(I)
x + y - √3 = 0, y = √3 - x
代入椭圆: x²/a² + (√3 - x)²/b² = 1
(a² + b²)x² - 2√3a²x + a²(3- b²) = 0
x₁ +x₂ = 2√3a²/(a² + b²)
x₁x₂ = a²(3 - b²)/(a² + b²)
y = √3 - x, y = 0, x = c = √3, a² - b² = c² = 3, b² = a² - 3 (i)

P(p, p')
p = (x₁ +x₂)/2 = √3a²/(a² + b²)
p' = (y₁ +y₂)/2 = (√3 - x₁ + √3 - x₂)/2 = √3 - √3a²/(a² + b²)
OP的斜率k = p'/p = [√3 - √3a²/(a² + b²)]/[√3a²/(a² + b²)] = b²/a² = 1/2 (ii)
由(i)(ii): b² = 3, a² = 6
x²/6 + y²/3 = 1

x₁ +x₂ = 2√3a²/(a² + b²) = 4√3/3
x₁x₂ = a²(3 - b²)/(a² + b²) = 0
y₁ - y₂ = √3 - x₁ - √3 + x₂ = -(x₁ - x₂)
|AB|² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² = 2(x₁ - x₂)² = 2[(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂] = 32/3
|AB| = 4√6/3

(II)
四边形的最大值假定为面积
y = √3 - x的斜率为k = -1
按斜率的定义: k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

CD的斜率为1
AB长度固定; 设AB, CD交点为Q, S = (1/2)|AB|*|CQ| + (1/2)|AB|*|DQ| = (1/2)|AB|*|CD|
|CD|最大时, S最大
设CD的方程: y = x + t

代入椭圆: x²/6 + (x + t)²/3 = 1
3x² + 4tx + 2t² - 6 =0
x₁ +x₂ = -4t/3
x₁x₂ = (2t² - 6)/3
y₁ - y₂ = x₁ + t - x₂ - t = x₁ - x₂
|CD|² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² = 2(x₁ - x₂)² = 2[(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂]
= 2[16t²/9 - 4(2t² - 6)/3]
= 16(9 - t²)/9
t = 0时, |CD|最大, = 4*3/3 =4
S = (1/2)|AB||CD| = (1/2)(4√6/3)*4 = 8√6/3