Question

对泰勒公式变量替换的疑问(微积分/数学全书)

对于变量替换，我有疑问。如下面那张图，用t展开和用x展开是不同的。仔细想想，原因是如下：另t=f(x),则g(t)的导数是 g'(t), g'(x)的导数是g'(t)f‘(x). 简单的说也就是复合函数的求导问题。
但是这个例题却能够直接做替换，我不能理解。
是不是我的思维错误了，又或者f(t)和f(x)是不同的东西。
还想请问一下，用什么软件能写出微积分符号，我这样拿鼠标画的太难看了。
简单的说，就是关于t展开和关于x展开会导致不一样的结果
书上却用t展开，然后 -x^2 直接做替换

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Answer 1

首先，你对e^t的展开式的第二项应该对应e^(-x^2)的展开式的第三项才对，而且你对e^(-x^2)求得二阶导数求错了。
其次，我说说我的理解，你听听有没有道理。我认为泰勒公式就是用函数在某一点的函数值来估算这一点邻域内的函数值，既然如此，如果我想估计e^(-x^2)在x=0.2处的函数值，我只要估计e^t在t=负0.04处的函数值即可。所以我换元求导后再代入应该也是可以的，只要两个变量的取值能够对应就可以了。
对了，你要打微积分符号，只要下载一个搜狗输入法，右击输入法的那个小框框，里面有一个表情&符号，里面有各个领域的特殊符号，其他输入法应该也差不多

Answer 2

这个题，我可以点你一下，下面你自己找资料了解去吧。
不知道你学过没有!

他们之所以不同，是因为e^t是解析函数，在t=0时可解析
e^(-x²)在t=0时不可解析！

泰勒级数在某一点展开的条件是函数在这一点可解析。所以e^(-x²)在x=0点不能简单的用泰勒级数表示！

希望能帮到你！

Answer 3

即使是用复合函数求导来计算麦克劳林公式也是没问题的，你下面手写的第二个展开式是有问题的，楼主往后面多写几项就可以了