Question

二重积分的题目，如图，判断奇偶性那一步没看明白？

如图，网课视频，图二写的最后一步。那个x为什么在D1为偶，D2为奇呢麻烦讲解一下。。。就听他说什么y为1然后就没下文了，没听明白

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Answer 1

D2 对李携称于 y 轴， x 的奇函数 x[1+y√(x^2+y^2)] 积分为 0
D1 对称于 x 轴， y 的奇函数 xy√(x^2+y^2) 积分为 0.
只剩下 x 在 D1 上卖枣的积分， 积分哪配伏函数不含 y， 故常量 x 可视为 y 的偶函数。

追问

我是不是可以理解成，只有x的那个积分，D1时候关于x轴对称，看y，函数不含有y视为偶函数
D2时候，关于y轴对称看x，x为奇？

追答

对于 D2， 整个被积函数 f(x,y) = x[1+y√(x^2+y^2)] 是 x 的奇函数，
因为 f(-x,y) = -x{1+y√[(-x)^2+y^2)]} = - x[1+y√(x^2+y^2)] = - f(x,y).

Answer 2

对称性计算二重积分时要看被积灶搭函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称，积分区间是否对称，如果可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。奇偶性计算二重积分时要看被积函数或被积薯辩衫函数的一部分是否具有奇偶性，积分数腔区间是否对称

Answer 3

可以用二重积分的几何意义来理解,二重积培行分历逗在数值上就是曲线与坐标肢中卖轴围成的面积的代数和,x轴下面为负,x轴上方为正

Answer 4

D1中是关于x轴培搭对称的区域，函数腊中悉f(x,y)=x是关于y的偶函数
D2是关于y轴对称的区域，函数f(x,y)=x是关于x的奇函数
这里的奇偶性是关于不轮乎同变量的

Answer 5

在直角坐标系中，先对x积胡纳手分，也就是先沿x轴方向积分，这是就得看函数是奇函数还是偶函数，裤嫌判断得好，势如破竹。而所谓的奇函数、偶函数，茄正就是看函数是对y轴对称，