Question

设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，当x∈[-3,

Answer 1

由f（x）+f（x+1）=4我们可得，我们易得f（x+2）=4-f（x+1）=4-[4-f（x）]=f（x），即f（x）是周期为2的偶函数，由函数周期性和奇偶性的性质，我们易将f（112.5）的自变量转化到区间[-3，-2]中，进而得到f（112.5）的值．
∵对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4
∴f（x+1）=4-f（x）
∴f（x+2）=4-f（x+1）=4-[4-f（x）]=f（x）
∴f（x）是周期为2的偶函数
f（112.5）=f（112.5-2×55）=f（2.5）=f（-2.5）
-2.5∈[-3，-2]，所以f（-2.5）=4×（-2.5）+12=2
f（112.5）=2
故选A

Answer 2

f(x)+f(x+1)=4
则
f(112.5)
=4-f(111.5)...............使用性质f(x)+f(x+1)=4
=4-(4-f(110.5))...............使用性质f(x)+f(x+1)=4
=f(110.5)
=........ ..........使用性质f(x)+f(x+1)=4
=f(2.5)
=f(-2.5)...............偶函数

=4*(-2.5)+2...............代入表达式
=-10+12
=2
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