Question

四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD且PA=AB

求二面角A-PD-C平面角的度数
求二面角B-PA-D平面角的度数
求二面角B-PA-C平面角的度数
求二面角B-PC-D平面角的度数

Answer 1

解：（1）作AE⊥PD并交PD于E点。连接BE。因为四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD且PA=AB，所以AB=AD=PA且∠PAD=RT∠，则△PAD是等腰直角三角形，则AE=AD/根号2。又因为直线AE和直线PD在平面ABCD上射影直线AD垂直于AB（注解：ABCD是正方形），所以AE⊥AB，AB⊥PD。即RT∠BAE是二面角A-PD-C平面角，为90°。
（2）因为四边形ABCD是正方形且PA⊥平面ABCD且PA=AB，所以BA⊥PA，AD⊥PA，RT∠BAD是二面角B-PA-D平面角，为90°。
（3）因为PA⊥平面ABCD，所以BA⊥PA，AC⊥PA，∠BAC是二面角B-PA-C平面角，为45°
（4）设AB=BC=CD=AD=a。因为PB²=AB²+PA²，PD²=AD²+PA²，AB=AD，所以PB=PD。又因为BC=CD，PC为公共边，并且根据射影定理容易判断∠PBC=∠PDC=RT∠，所以RT△PBC≌RT△PDC;容易求得PB=PD=a根号2；PC=a根号3。作BF⊥PC并交PC于F点，连接DF，显然DF⊥PC且垂足为F，并且BF=DF。故∠BFD就是二面角B-PC-D平面角。根据三角形等面积公式：0.5PB·BC=0.5PC·BF得出DF=BF=PB·BC/PC=a²根号2/(a根号3)=a根号6/3。△BFD中，cos∠BFD=(BF²+DF²-BD²)/(2BF·DF)=[2(a根号6/3)²-(a根号2)²)/[2(a根号6/3)]=-0.5，故二面角B-PC-D平面角∠BFD=120°。