Question

用极限的定义证明 lim(x-x^3)/(x+1)=-2 x趋向于-1

Answer 1

用极限的定义证明 lim(x-x^3)/(x+1)=-2 x趋向于-1

(x-x³)/(1+x)
=x(1-x²)/(1+x)
=x(1-x)
=x-x²
对于任意E>0,|x-x²+2|=|x-2|*|x+1|
∵|x-2|=|x+1-3|≤|x+1|+3
∴限定0<|x+1|<1,即-2<x<0且x≠-1
则|x-2|≤|x+1|+3<4
∴|x-x²+2|<4|x+1|<E,|x+1|<E/4
∴取δ=min{1,E/4},则当0<|x+1|<δ时,有|x-x²+2|<E
∴lim(x→-1)(x-x³)/(x+1)=-2

用极限的定义证明lim3x/(2x-1)=3,x趋向于1

任给ε>0,欲使
0<│3x/(2x-1)-3│<ε,
即-ε<(3-3x)/(2x-1)<ε
无妨令x>0.9,则2x-1>0.8
-0.8ε/3<(1-x)<0.8ε/3
取δ=min(0.8ε/3,0.1)
那么，当│x-1│<δ时，有0<│3x/(2x-1)-3│<ε,
∴x趋向于1 时，lim3x/(2x-1)=3

求解答，用函式极限的定义证明：lim(x趋向于1）1/（x-1）=1、lim(x趋向于1)(x^2-1)/(x^2-x)=2，最好详细点

lim(x趋向于1）1/（x-1）=1 假命题
x->1则x^2-1->0
x^2-x->0
上下同趋于0，则上下求导，结果等于：lim(x->1) 2x/(2x-1)=2

用极限的定义证明x趋向于0时，x+2lnx趋向于负无穷。

X+2INX。
X是趋近于0的。
INX是趋近于负无穷的。
两者相加 X+2INX是趋向于负无穷的。

lim（x趋向于正无穷）sin^2(x)/根号x=0 用函式极限的定义证明

证明：对于任意的ε>0，解不等式
│sinx^2/√x│≤1/√x<ε
得x>1/ε^2，则取δ=1/ε^2。
于是，对于任意的ε>0，总存在正数δ=1/ε^2，当x>δ时，有│sinx^2/√x│<ε。
即 lim(x->+∞)(sinx^2/√x)=0，命题成立，证毕。

利用极限定义证明lim(3x-4)=2X趋向于2

证明：对于任意的ε>0，解不等式
│(3x-4)-2│=3│x-2│<ε
得│x-2│<ε/3，取正数A≤ε/3。
于是，对于任意的ε>0，总存在正数A≤ε/3，当0<│x-2│<A时，有│(3x-4)-2│<ε，
即 lim(x->2)(3x-4)=2，证毕。

用极限的定义证明lim[x→∞]（x^2）/（x^2+1）=1

用定义证明极限实际上是格式的写法，依样画葫芦就是：
证 对任意ε>0，要使
|(x^2)/(x^2+1)-1| = 1/(x^2+1) < 1/|x| < ε，
只需 |x| > 1/ε，取 X = 1/ε，则当 x>X 时，有
|(x^2)/(x^2+1)-1| < 1/|x| < 1/X = ε，
得证。

求此极限的值lim x趋向于0 (x+1)/2x=

分子趋于1，分母趋于0
所以分式趋于无穷
所以极限不存在

根据函式极限的定义证明：lim(x趋向3）（3X-1)=8

lim(x→3) 3x-1=8
对于任意ε>0，想要|3x-1-8|<ε
即：|3x-9|=3*|x-3|<ε
只需要取δ=ε/3>0
当|x-3|<δ，就有|3x-1-8|<ε
那么，根据定义
lim(x→3) 3x-1=8
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