Question

如何推导拉格朗日中值定理呢？

Answer 1

罗尔定理可知。

fa=fb时，存在某点e，使f′e=0。

开始证明拉格朗日。

假设一函数fx。

目标：证明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。

假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。

这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足Fb=Fa，且一定存在这个a和b。

此时就有罗尔定理的前提了。

于是得出有一个e，能让F′e=0(罗尔定理)

即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，

上面求导等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。

将唯一的x带换成e，并且整个式子等于0。

变成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→

f′e=(fb-fa)/(b-a)→

f′e(b-a)=(fb-fa)。

扩展资料

证明过程

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

几何意义

若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。