Question

用换元法计算下列定积分1、∫0→4 (√x/√x+1)dx 2、∫(0→π/2) cos^4xsin xdx？

Answer 1

令√x=y,则x=y²,dx=2ydy,y：0→2
∫[0→4] √x/√(x+1) dx
=∫[0→2] 2y²/√(y²+1) dy
∫ 2y²/√(y²+1) dy
下面计算不定积分：令y=tanu,√(y²+1)=secu,dy=sec²udu,
=2∫ (tan²u/secu)sec²udu
=2∫ tan²usecu du
=2∫ (sec²u-1)secu du
=2∫ (sec³u-secu) du
=tanusecu + ln|secu+tanu| - 2ln|secu+tanu| + C
=tanusecu - ln|secu+tanu| + C
=y√(y²+1) - ln|√(y²+1)+y| + C
因此：原式=∫[0→2] 2y²/√(y²+1) dy
=y√(y²+1) - ln|√(y²+1)+y| |[0→2]
=2√5 - ln(√5+2)
2.
∫(0→π/2) cos^4xsin xdx
=-∫(0→π/2) cos^4xdcosx
令t=cosx
原式=∫(1→0) t^4dt
=0.2t^5(1→0)
=-0.2,6,