Question

若向量a,b不共线,且AB=a+56,CD=-2a-10b,则A、B、C、D四点共线吗？

Answer 1

首先，由向量AB=a+56可得向量a=AB-56，将其带入CD=-2a-10b中得：
CD=-2(AB-56)-10b
CD=-2AB+112+(-10b)
接着，将CD表示成向量DC，则CD=DC=-(-2AB+112+10b)=2AB-112-10b。因此，AB和CD/DC的关系为：
AB=a+56
CD/DC=2AB-112-10b
现在我们需要判断四个点A、B、C、D是否共线，即需要判断向量AD是否与向量AB共线。即判断向量AD是否是向量AB的常数倍。因为向量AB不为0，所以如果向量AD与向量AB共线，则向量AD与向量a或向量b必定共线。所以我们只需要判断向量AD是否与向量a或向量b共线即可。
向量AD与向量a的关系为：
AD=a+56+(-2a-10b)=-a-10b+56
向量AD与向量b的关系为：
AD=a+56+(-2a-10b)=-2a-10b+56
若向量AD与向量a共线，则有AD=k*a，其中k为常数。将向量AD和向量a展开，得到：
-a-10b+56=k*(AB-56)
-ka-10b+56=k*(AB-56)
将上式两边同除以k，得到：
-a/k-10b/k+56/k=AB-56
因为AB=a+56，所以上式变为：
-a/k-10b/k+56/k=a
将a=AB-56代入上式，得到：
-a/k-10b/k+56/k=AB-56=AB-a
移项，得到：
(1/k-1)*a=(10/k)*b-56/k
因为a和b不共线，所以10/k和-1/k不可能相等。因此，(1/k-1)和(10/k)也不可能相等，所以上式无解。因此，向量AD与向量a不共线。
同理可得，向量AD与向量b不共线。
综上所述，向量AD不可能是向量AB的常数倍，即四点A、B、C、D不共线，因此不共线。