Question

求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值最小值。

当x在0到90°时又如何？

Answer 1

sinX+cosX=根号2（cos45sinx+sin45cosx）=根号2sin（x+45），当x在0~90时，x=45时值最大，为根号2。
y=sinX+cosX+2sinXcosX+2=sinx+cosx+2sinxcosx+1+（sinx）^2+(cosx)^2=sinx+cosx+1+(sinx+cosx)^2=(sinx+cosx+1/2)^2+3/4,
因为sinx+cosx最大是根号2，最小1，则y最大，最小代入即知

Answer 2

解：y=sinx+cosx+2sinxcosx+2=sinx+cosx+2sinxcosx+1+1=sinx+cosx+(sinx+cosx)2+1
令t=sinx+cosx=根号2*sin(x+45度）
所以t小于等于根号2大于等于负根号2
y=t2(即t平方）+t+1=(t+1/2)2+1/4 由t取值范围知y范围为小于等于5大于等于3-根号2
当x在0到90°时，x+45度的取值范围是0到145度 t的取值范围即为1到根号2
同理知此时y取值范围是3到5