Question

已知abc均为正数,求证lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(c+a)/2≥lga+lab+lgc

Answer 1

(a+b)/2>=(ab)^(1/2) >0
(b+c)/2>=(bc)^(1/2) >0
(c=a)/2>=(ca)^(1/2) >0
三式两边相乘得：
(a+b)/2×(b+c)/2×(c=a)/2>=abc>0
两边取对数，有：
lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(c+a)/2≥lga+lab+lgc

Answer 2

log(a*b)=loga+logb反过来用lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(c+a)/2=lg[(a+b)/2*(b+c)/2]+lg(c+a)/2=lg[(a+b)/2*(b+c)/2*(c+a)/2]=lg[(a+b)(b+c)(a+c)]/8=lg(a�0�5b+a�0�5c+ab�0�5+abc+abc+ac�0�5+b�0�5c+bc�0�5)/8=lg(a�0�5b+ab�0�5+a�0�5c+ac�0�5+2abc)
lga+lab+lgc=lgabc
∵ abc均为正数且lg函数为单调递增函数
∴a�0�5b+ab�0�5+a�0�5c+ac�0�5+2abc>abc
∴lg(a�0�5b+ab�0�5+a�0�5c+ac�0�5+2abc)>lgabc
即lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(c+a)/2≥lga+lab+lgc