Question

已知椭圆c过点M（1，根号6/2）点F（-根号2,0）是左焦点，点P.Q是椭圆上的动点 ，且PF MF QF 成等差数列

证线段PQ的垂直平分线恒过一点

Answer 1

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
1/a^2+6/(4b^2)=1
a^2-b^2=2
椭圆方程为x^2/4+y^2/2=1

设P点坐标（x1,y1）,Q点坐标（x2,y2）

根据椭圆第二定义，平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线，该常数为离心率）
|PF|=（根号2）*x1/2+2

|MF|=（根号2）/2+2

|QF|=（根号2）*x2/2+2

因为|PF|,|MF|,|QF|成等差数列

（根号2）+4=4+（根号2）*(x1+x2)/2

x1+x2=2

设PQ中点坐标为（x0,y0）
则x0=(x1+x2)/2=1

又因为P,Q在椭圆上，所以
x1^2/4+y1^2/2=1
x2^2/4+y2^2/2=1
上面两个式子相减，得
x1^2-x2^2=-2(y1^2-y2^2)
(x1+x2)(x1-x2)=-2(y1+y2)(y1-y1)
又x1+x2=2
y1+y2=-(x1-x2)/(y1-y2)=2y0 式一

PQ的方程为
y-y0=（y1-y2）/（x1-x2）*(x-x0)
中垂线与PQ垂直
PQ中垂线的方程为

y-y0=-（x1-x2）/（y1-y2）*(x-x0)

根据式一
y-y0=2y0*(x-1)
y+2=y0*(2x+1)
过定点（-1/2，-2）