Question

高一函数解方程组法原理

原题：如函数f(x)满足af(x)+f(1/x)=ax,x∈R且x≠0，a为常数，a≠±1，求f(x)?书上的解析是：af(x)+f(1/x)=ax 通过1/x换成x得到一个新的式子 af(1/x)+f(x)=a/x我的问题：1.为什么换括号中的东西都换掉了，两边一样相等成为一个等式，且没有其他条件就推出了另一个完全不同的式子，因为在初中由一个式子是不可能推出另一个能作为条件去解答的式子。2.为什么不能换成 af(x)+f(x)=ax 这样的式子呢，这样不是更简单么，都不用消去的过程了。我的问题不需要从网上其他地方去找，因为能找的我都找了，期望大家能从我高一新生的角度去解答我的疑问，而不是要你那个“就这样做”的结果。谢谢各位！

Answer 1

af(x)+f(1/x)=ax,x∈R且x≠0，a为常数，a≠±1

上面那个式子对任意一个属于R的x都是成立的.
所以你给x取什么值都是可以的(只要是实数)
那么取x=1/t也是可以的
于是就得到了af(1/t)+f(t)=a/t
2.因为换的时候式子的三个x是同步的
所以不能换成af(x)+f(x)=ax

Answer 2

Answer 3

把af(x)中的x换成1/x，那么f(1/x)里的x也要换成1/x也即是f（x),ax也就成了a1/x