Question

已知P是等腰△ABC的底边BC延长线上一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC的延长线于F

求证:PE-PF为定值。

Answer 1

证明：过点C作CD⊥AB于D，CH⊥PE于H
∵CD⊥AB，PE⊥AB，CH⊥PE
∴矩形CDEH
∴CD＝EH，CH∥AB
∴∠PCH＝∠B
∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠B
∵∠PCF＝∠ACB
∴∠B＝∠PCF
∴∠PCF＝∠PCH
∵PF⊥AC
∴∠PFC＝∠PHC＝90
∵PC＝PC
∴△PHC≌△PFC （AAS）
∴PF＝PH
∵EH＝PE-PH
∴EH＝PE-PF
∴CD＝PE-PF
∴PE-PF是定值

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Answer 2

AB*PE-AC*PE=2S△ABC
PE-PF=2S△ABC/AB是定值

Answer 3

PE-PF=PBsinB-PCsinB=BCsinB所以三角形一定则PE-PF为定值。