Question

设函数f（x）的定义域为R，对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，且f（2）=6

（1）求证：函数fx为奇函数（2）证明fx在R上为增函数（3）求fx在[-4,4]上的值域

Answer 1

1. f(0)=f（0+0）=2f(0),解出f(0)=0

   0=f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），又因为定义域为R因此为奇函数
   

   2.x1<x2，f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），又因为x2-x1>0，所以f（x2-x1）>0

即f（x1）<f（x2），因此为增函数。

3，由于增函数，最小值为f（-4）=-f（4），最大值为f（4）=f（2+2）=2f（2）=12

因此最小值为-12，最大值为12

Answer 2

第一问设x=0,y=0则f(0+0)=f(0)+f(0).得f(0)=0.即奇函数