Question

正交矩阵的特征值一定是1或-1

Answer 1

问：正交矩阵的特征值一定是1或-1

答：您好！ 正交矩阵的特征值只能是1或-1。 设A是正交矩阵，λ是A的特征值，α是A的属于λ的特征向量。 则有： A^TA = E (E为单位矩阵) Aα=λα α≠0 考虑向量λα与λα的内积： 一方面，(λα,λα)=λ^2(α,α) 另一方面，(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα= α^Tα = (α,α) 所以有： λ^2(α,α) = (α,α) 又因为： α≠0 所以： (α,α)>0 所以： λ^2 = 1 所以： λ = ±1 即正交矩阵的特征值只能是1或-1。