Question

在三角形ABC中,角A B C成等差数列,对应边a,b,c成等比数列,求证:△ABC为等边三角形.

在三角形ABC中,角A B C成等差数列,对应边a,b,c成等比数列,求证:△ABC为等边三角形.
详细过程,谢谢

Answer 1

由角A B C成等差数列可知�B=60�，
又由a,b,c成等比数列可得 b�=ac ，
由余弦定理得 cosB=(a�+c�-b�）/2ac ，
即 cos60�=（a�+c�-ac)/ac ，
整理得 a�+c�-2ac=0 ，即 (a-c)�=0 于是 a=c ，
有一角为60�的等腰三角形，一定是等边三角形.

Answer 2

由于ABC为等差数列，所A+B+C=180=3B B=60度
对应边a,b,c成等比数列 所以三边为a，ak，ak2
有正弦定理可得a/SINA=b/SINB=C/SINC
即1/SINA=K/SIN60=K2/SINC
故 1/SINA=K/SIN60 K/SINC=1/SIN60 .
由上可得K=SIN60/SINA=SINC/SIN60而A,B均大于0小于120.
所以SINA=SINC=SIN60即A=C=60