Question

已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=3x+1，求f(x)

有一个答案解释说：
f(x)+2f(-x)=3x+1 那么f(-x)+2f(x)=-3x+1 想请教一下高手，对于这一步的转化我不太懂！非常感谢！！

Answer 1

f(x)+2f(-x)=3x+1
就相当于把x看成-x,那么-x就是相当于x
所以带进去就是x的位置变成-x,-x的位置变成x
就是f(-x)+2f(x)=-3x+1

您好，土豆实力团为您答疑解难。
如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳。
答题不易，请谅解，谢谢。
另祝您学习进步！

Answer 2

很简单，既然等式里又有x，又有-x，那么-x、x都在定义域上取值，将x换成-x，等式仍成立。
如果还不明白，可以用代换法理解：
令x=-t，则-x=t (x、-x都在定义域上取值，那么t、-t也都在定义域上)
f(-t)+2f(t)=3(-t)+1
既然x、t都在定义域上取值，那么将t换成x
f(-x)+2f(x)=3(-x)+1
理解的关键是x、-x都在定义域上取值，那么将x换成-x，仍都在定义域上，等式仍应成立。

Answer 3

不妨构造一个新的函数F(x)
令F(x)=f(x)+2f(-x)
于是新的函数F(x)=3x+1
这是函数F(x)的具体解析式
在函数F(x)中，显然定义域为R
意味着自变量可以取任意实数
如果将x看作任意的一个实数
那么自变量当然也可以取到它的相反数-x
将这个新的自变量代入函数F(x)
自然就有F(-x)=3*(-x)+1=-3x+1（I）
回过来再看看F(x)的抽象表达式F(x)=f(x)+2f(-x)
当自变量x换成-x时就会有F(-x)=f(-x)+2f(-(-x))=f(-x)+2f(x)（II）
结合（I）（II）就有了f(-x)+2f(x)=-3x+1

Answer 4

其实很简单
比方说，当x取1时
f(1)+2f(-1)=3×1+1
当x取a时
f(a)+2f(-a)=3a+1
同理啊
只要x取-x时,则有
f(-x)+2f(x)=-3x+1

望采纳！！！

Answer 5

虽然答得晚了但望采纳！
f(x)+2f(-x)=3x+1 ①
令x=-x(即把①式中的x用-x代替)得到f(-x)+2f(x)=-3x+1 ②
②乘2得 4f(x)+2f(-x)=-6x+2 ③
③-①得 3f(x)=-9x+1
∴f(x)=-3x+1/3