Question

【数学】正方形内等边三角形的问题

如图，矩形ABCD中，∠FCD=75°， 以CF为一边的等边△EFC的另一顶点E在AD上，点K是FC的中点.

(1) 求证：矩形ABCD为正方形
(2) 求证：CE²=4BC·FB
(3) 求∠KDC的度数

Answer 1

证明：

1、

∵矩形ABCD

∴∠A＝∠BCD＝∠ADC＝∠B＝90

∵∠FCD＝75

∴∠BCF＝90-∠FCD＝15

∵等边△EFC

∴CE＝CF＝EF，∠ECF＝60

∴∠DCE＝∠BCD-∠BCF-∠ECF＝15

∴∠DCE＝∠BCF

∴△DCE≌△BCF  （AAS）

∴BC＝CD

∴正方形ABCD

2、证明：

∵△DCE≌△BCF

∴DE＝BF

∴AE＝AF＝AB-FB＝BC-FB

∵∠A＝90

∴EF＝√2AE

∴CE＝√2AE＝√2（BC-FB）

∴CE²＝2（BC²+FB²-2BC×FB）＝2（BC²+FB²）-4BC×FB＝2CF²-4BC×FB＝2CE²-4BC×FB
∴CE²＝4BC×FB

3、解：过点K作KH⊥BC，作∠BCG＝60,CG交KH延长线于点G

∵KH⊥BC

∴∠GKC＝90-∠BCF＝75

∵K是CF的中点，KH⊥BC，∠B＝90

∴KH是△BCF的中位线

∴CH＝BC/2＝CD/2

∵∠BCG＝60

∴CH＝CG/2

∴CG＝CD

∵∠FCG＝∠BCF+∠BCG＝15+60＝75

∴∠FCG＝∠FCD

∴CK＝CK

∴△DCK≌△GCK  （SAS）

∴∠DKC＝∠GKC＝75

∴∠KDC＝180-∠FCD-∠DKC＝30

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Answer 2

1、∠ECD=75°-60°=15°，∠FCB=90°-75°=15°, 因为FC=CE,∠ECD=∠FCB，∠ADC=∠ABC

所以BC=CD，即矩形ABCD为正方形

2、∠CED=180°-90°-15°=75°，∠AEF=180°-75°-60°=45°=∠AFE，EF=√2AF,

CE²=EF²=2AF²=2（AB-FB)²=2（AB²-2AB·FB+FB²)=2（BC²+FB²)-2AB·FB=2CF²-4AB·FB

所以2CF²-CE²=4AB·FB，即CE²=4AB·FB

3、

ck=½CF得出ID=CH=½CB，IK²=（IH-HK）²=（AB-½FB）²=AB²-AB·FB+¼FB²=AB²-¼CE²+¼FB²=AB²-¼(CF²-FB²)=AB²-¼BC²=AB²-ID²

DK²=IK²+ID²=AB²-ID²+ID²=AB²，即DK=DC，∠DKC=∠KCD=75°,那么∠HDC=180°-75°-75°=30°

Answer 3

证明：（1）欲证矩形ABCD为正方形(注：是矩形ABCD)只需证明BC=CD若BC=CD则四边相等且内部四角均为90°那么矩形ABCD必为正方形。
∵∠FCD=75°，△EFC为等边三角形，∠FCE=75°，∠BCD=90°，
∴∠BCF=∠ECD=15°，BC=CD，∠EDC=∠FBC=90° （AAS）
∴△BCF≌△DCE
∴BC=CD
∴矩形ABCD为正方形
（2）沿用1问的结论△BCF≌△DCE
CE²=4BC·FB
可推 1/4=BC·FB/CE²=BC/CF·FB/CF=cos15°·sin15°而cos15°·sin15°=1/2sin30°=1/4故可证CE²=4BC·FB
(3)作辅助线KL平行于CD
设AE长度为X FE长度为√2*X ED长度为sin15°√2*X
KL作为梯形AFCD的中位线 KL=2X+sin15°√2*X/2
LD=X+sin15°√2*X/2 tan∠LKD=1+sin15°√2/2+sin15°√2=1/(1+1/(1+sin15°√2))（sin15°=√6-√4/4）
∴tan∠LKD=√3/3 ∴tan∠LKD=30°
∵KL平行于CD∴∠LKD=∠KDC
∴∠KDC=30°

Answer 4

（1）、△EFC为等边三角形，——》CF=CE，∠FCE=60°，
∠FCD=75°，——》∠FCB=∠DCE=15°，∠CED=∠CFB=75°，
——》RT△CDE≌RT△CBF，——》CD=CB，
ABCD为矩形，——》矩形ABCD为正方形；
（2）、tan15°=tan(45°-30°)=(1-v3/3)/(1+v3/3)=2-v3，
FB/BC=tan∠FCB=tan15°=2-v3，
——》FB=(2-v3)BC，
——》FB^2=(2-v3)^2BC^2=(7-4v3)BC^2，
CE^2=CF^2
=BC^2+FB^2
=BC^2+(7-4v3)BC^2
=(8-4v3)BC^2
=4*(2-v3)BC*BC
=4*FB*BC；
（3）、CE^2=(8-4v3)BC^2，
——》CE=(v6-v2)BC，
——》CK=CE/2=(v6-v2)BC/2，CD=BC，
由余弦定理：
cos∠DCK=cos75°=cos(30+45)=(v6-v2)/4
=(CD^2+CK^2-DK^2)/2*CD*CK
={BC^2+[(v6-v2)BC/2]^2-DK^2}/2*BC*[(v6-v2)BC/2]
——》DK^2=BC^2，
——》DK=BC=CD，
——》∠DKC=∠DCK=75°
——》∠KDC=180°-∠DKC-∠DCK=30°。

Answer 5

1
∠BCF=90-°75°=15°,∠DCE= 90°-60°-15°=15°
∠BCF =∠BCF
CE=CF

CDE= CBF=90°
三角形△BCF ≌△BCF
所以 CD=BC
因为已知ABCD为矩形，所以ABCD4条边都相等
所以矩形ABCD为正方形

2
因为△BCF ≌△BCF
CE=CF， DE=BF
CFB 顺时针旋转240°， BC与CD重合， F=F'
三角形△ECF' 顶角=30°，
面积S= 1/2 * CE*CF*sin30°= 1/4*CE²
面积S又 = 1/2 * (DE+DF')*CD =DE*CD = BF*BC
所以CE²=4BC·FB

3
连接EK
EK是等边三角形的中线
所以　∠EKC=90°
又因为　∠EDC=90°
E D C K四点共圆，
∠KDC = ∠CEK = 60°/2 = 30°