Question

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在AB上。当BD/AB=1/3时，求二面角B-CD-B1的余弦值

Answer 1

过点B做BF⊥CD，垂足是F，连结B1F，点F应该在CD延长线上的。

则∠B1FB就是二面角B1－CD－B的平面角，则只要计算出cos∠B1FB就可以了，

而在计算这个值时，唯一缺少的就是B1F或BF的长度，比较下，计算BF的长度相对方便点。

在三角形BDC中，因为其面积是三角形ABC的1/3，则此三角形面积是2。

在三角形ABC中，cosB=3/5，BC=3，BD=5/3，

由余弦定理，得：CD²=BC²＋BD²－2×BC×BD×cos∠B=52/9，

则CD=2√13/3。因三角形BCD面积是2，

则(1/2)×CD×BF=2，

得：BF=6/√13，

则：B1F²=BB1²＋BF²=16＋(36/13)=244/13，

即：B1F=2√61/√13。

cos∠B1FB=BF/B1F=6/(2√61)=(3√61)/61