Question

2013.07.12数学题【要过程】

1. 若关于x的方程√(4-x²)-kx-3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是__________。
2. 在△OAB中，O为坐标原点，A(1,cosα)，B(sinα,1)，α∈(0,π/2]，则当△OAB的面积达最大值时，α等于__________。

Answer 1

1. 画出x^2+y^2=4(y>=0)和y=kx-2k+3的图像
   当两者相切时，由|-2k+3|/√（k^2+1）=2得
   k=5/12
   此直线绕固定点（2,3）旋转，一直会有两个不同的交点，直到：
   点（-2,0），再旋转只剩一个交点
   过点（-2,0）、（2,3）的直线斜率为3/4
   故k的取值范围为(5/12,3/4]

2. 如图圆O与X轴交于M，与y轴交于N，过M，N做Y轴和X轴的平行线交于P，

   △OAB的面积等于正方形OMPN减去三角形OMA 再减去三角形ONB 再减去三角形ABP

   S△OAB=1-（sinθ·1）／2-（cosθ·1）／2-（1-sinθ）（1-cosθ）／2

         =1/2-1/2sinθcosθ

         =1/2-1/4sin2θ

   θ∈(0,π／2)

   θ=0,△OAB面积最大为1/2

   

追问

第二题的答案是π/2

追答

在直角坐标系里，
△OAB的面积=1-(1/2)sinθ-(1/2)cosθ-(1/2)(1-cosθ)(1-sinθ)
=1/2-(1/2)sinθcosθ
=1/2-(1/4)sin2θ
θ∈(0,π/2],所以2θ∈(0,π]
上式当2θ=π时取得最大，即θ=π/2

Answer 2

（1）√(4-x²)-kx-3+2k=0

√(4-x²)=kx+3-2k
两边平方，得

4-x²=（kx+3-2k）²
4-x²=k²x²+2（3-2k）x+（3-2k）²
△＞0

k∈(5/12,3/4]

追问

第二题呢？

Answer 3

追问

请问您能把第一题的过程写出来吗？

追答

本以为你已经只要第二问了；

第一问题是属于解析几何中的半个曲线问题；

答案见图片：