Question

已知函数y＝根号下［mx＾2+(m-3)x+1］的值域是［0，正无穷），则实数m的取值范围是？

Answer 1

首先，函数要有意义，这就要求mx＾2+(m-3)x+1>=0。对此，我们作如下讨论：
（1）m<0，此时，f(x)=mx＾2+(m-3)x+1图像的开口朝下，不能满足使y值域为［0，+∞)，舍去。
（2）m=0,此时，y=1，值域不为［0，+∞)，舍去。
(3) m>0,此时，f(x)=mx＾2+(m-3)x+1图像的开口朝上，要使y的值域为［0，+∞)，那么，f(x)>=0
必须对所有的x都成立，就是说f(x)=mx＾2+(m-3)x+1图像与x轴最多有一个交点。于是有：
Δ=(m-3)²-4m=m²-6m+9-4m=m²-10m+9=(m-1)(m-9)≦0，得1≦m≦9。
综上所述，故m的取值范围为[1,9]。

Answer 2

我的理解是，题目要求m在什么范围内，使得x无论什么值时都能满足y值在［0，正无穷）。所以按这个理解去解题。
设f=mx²+(m-3)x+1，由题就有y=√f 。因为y=√f 属 [0，+∞），所以f也要满足[0，+∞），所以
1、当m=0时，f＝-3x+1，f∈（－∞，+∞），不满足[0，+∞），因：m=0时，f∈（－∞，0)时不能使y有 意义（根号里小于 0）
2、当 m∈（－∞，0)时，f为二次函数，f 对应的图像抛物线开口向下，同样f必然会有小于0的。根据抛物线顶点坐标( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )可以得到，f∈（－∞，(4m-（m-3）²)/4m]，也不满足。
3、当m∈（0，+∞ )时，f为二次函数，对应的图像抛物线开口向上，所以只要使得f函数抛物线顶点在x轴上，那f就会满足 [0，+∞），同时也可以让y=√f满足 [0，+∞），所以f=mx²+(m-3)x+1的顶点坐档( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )中，只要(4ac-b^2)/4a>或=0即可，得(4m-（m-3）²)/4m>=0.。而且前提m∈（0，+∞ )，解得m∈[1，9]
综上可得，当m取值范围在[1，9]时，y值域为［0，正无穷），（x可取任意值。）

Answer 3

已知函数y＝√[mx²+(m-3)x+1]的值域是［0，+∞)，则实数m的取值范围是？
解：因为y的值域为[0，+∞)，故mx²+(m-3)x+1≧0对任何x都成立，为此必须：
m>0.........(1)；Δ=(m-3)²-4m=m²-6m+9-4m=m²-10m+9=(m-1)(m-9)≦0，得1≦m≦9.......(2)
(1)∩(2)={m∣1≦m≦9}，这就是m的取值范围。

Answer 4

m=l或9。当m>0时，(m-3)^2-4m=0，∴m=l或9。当m<0时，不合题意。当m=0时，根号下-3x+1不符合题意。

Answer 5

【1,9】并上0，第一种情况：根号下是二次函数的时候用根的判别式小于等于0，就可了，第二种情况不是二次函数的时候m=0时也满足条件