Question

已知奇函数f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)=x(2-x)

﹙1﹚求f﹙﹣2﹚的值 ﹙2﹚求函数f(x)的解析式

Answer 1

∵奇函数f(x)的定义域为R
f(x)=-f(-x)
当x=0的时候
f(0)=-f(-0)
∴f(0)=0
设x=2
f（2）=2*f(0)=0
∵f(x)是奇函数
∴f(-2)=-f(2)=0

∵x＞0
∴-x＜0
∵f(x)=-x^2+2x(x＞0)
∴f(-x)=-f(x)=-[-(-x)^2+2*(-x)]
设-x=t，那么t＜0
∴f(t)=-(-t^2+2t)=t^2-2t(t＜0)
综上：f(x)=-x^2+2x(x＞0)
=0(x=0)
=x^2-2x(x＜0)

Answer 2

解：（1）∵ f（x）是奇函数
∴ f（- 2）= - f（2）
= - 2（2 - 2）
= 0
（2）∵ f（x）是奇函数
∴ 设 x ' < 0 ，则有 - x ' > 0 ，对于 f（x） ，有：
f（- x ' ） = - x（2 + x）
= - f（x '）
∴ 当 x ‘ < 0 时，f（x ‘ ）= x '（2 + x ' ）= x ' ² + 2 x '

∴ f（x）= ① 2 x - x ² （x >0）
② x ² + 2 x （x < 0）
③ 0 （x = 0）

Answer 3

f(2)=2*(0)=0
f(-2)=-f(2)=0

f(0)=0
x<0,-x>0
f(-x)=-x(2+x)=-f(x)
f(x)=x(x+2)

综上f(x)=x(2-x) x≥0
f(x)=x(2+x) x<0