Question

二次函数题

已知二次函数y=ax^2+bx+8的图像与x轴交于A(-2,0),B与y轴交与C tan∠ABC=2
求抛物线解析式及其顶点D的坐标
设直线CD交x轴于E.在线段OB的垂直平分线上是否存在P,使得经过P的直线PM垂直于CD,且与直线OP的夹角为75°?求P坐标
过点B作x轴垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴向上平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究:抛物线最多可以向上平移多少个长度单位?

Answer 1

如图。

Answer 2

二次函数y=ax^2+bx+8的图像与x轴交于A(-2,0),B与y轴交于C(0,8), tan∠ABC=2
∴xB=土4.
（1）B(4,0)时,y=a(x-4)(x+2),令x=0得8=-8a,a=-1,
∴抛物线解析式是y=-(x-4)(x+2)=-(x-1)^2+9,其顶点D的坐标是(1,9).
CD:y=x+8交x轴于E(-8,0),
设线段OB的垂直平分线:x=2上存在P(2,p),使得直线PM垂直于CD,且与直线OP的夹角为75°,
画图知，CD与直线x=2的夹角是45°，所以PM与直线x=2的夹角是45°，于是OP与直线x=2的夹角是180°-45°-75°=60°，OP与x轴的夹角是30°，p=2tan30°=2√3/3，P(2，2√3/3）.
过点B作x轴垂线,交直线CD于点F（4,12），EF:y=x+8(-8<=x<=4),
将抛物线沿其对称轴向上平移h（h>0)个长度单位,使抛物线与线段EF总有公共点,
-(x-4)(x+2)+h=x+8,
x^2-x-h=0在-8<=x<=4内有解，
h=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4,0<h<=72,
抛物线最多可以向上平移72个长度单位.
（2）B(-4,0)时留给您练习.

Answer 3

设点B（m,0),C(0,n),∵tan∠ABC=2，∴|n/m|=2,即n=±2m,于是可列下列各等式： 4a-2b+8=0即2a-b+4=0……①，
am²+bm+8=0……②，8=±2m,即m=±4……③
若m=4，代入②得16a+4b+8=0即4a+b+2=0……④，①④联立解得a=-1,b=2,这时y=-x²+2x+8,顶点D（1,9）
若m=-4，同样可解得a=1,b=6,这时y=x²+6x+8,顶点D（-3，-1）
未完待续……