Question

求函数y=x^2+8/x-1(x>1）的最小值

详解

Answer 1

解答:
y=x^2+8/x-1
令x-1=t,
则 x=t+1, t>0
∴ y=[(t+1)²+8]/t
=(t²+2t+9)/t
=t+9/t+2
≥2√[t*(9/t)]+2
=8
当且仅当t=9/t,即t=3,即x=4时等号成立
∴ 函数y=x^2+8/x-1(x>1）的最小值是8

Answer 2

答：

y=(x^2+8)/(x-1)
=[(x-1)^2+2(x-1)+9]/(x-1)
=x-1+9/(x-1)+2
>=2√[(x-1)*9/(x-1)]+2
=2*3+2
=8
所以：y的最小值为8，此时x-1=9/(x-1)，x=4

追问

>=2√[(x-1)*9/(x-1)]+2
这步不懂，能讲一下吗

追答

嗯，利用均值不等式或者说基本不等式：
a>0，b>0
则：a²+b²>=2ab
可以利用(a-b)²>=0推导出来