Question

已知.如图.在四边形ABCD中.E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点

请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；

若四边形EFGH是平行四边形，对角线AC,BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？

Answer 1

如图，连结AC,BD

1. EFGH是平行四边形。由E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点可知EF,FG,GH,EH分别是三角形ABC,BCD,CDA,ABD的中位线，由定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半  可得EH,FG平行于BD,而GH,EF平行于AC,所以EH平行于FG,GH平行于EF,所以四边形EFGH是平行四边形。
   

2. 菱形要求平行四边形的四边相等，而平行四边形EFGH的边长又分别等于AC和BD的一半，所以当AC=BD时，EFGH是菱形

3. 正方形相当于临边互相垂直的菱形，所以当AC=BD，并且AC垂直于BD时，EFGH是正方形。

主要是运用三角形的中位线定理。

Answer 2

矩形；正方形
BD//EH//FG;AC//HG//EF且BD=2EH=2FG;AC=2HG=2EF
所以为菱形时AC=BD,交于点O，O为AC,BD中点。所以为矩形。

为正方形，AC=BD且AC垂直于BD，交点O为两线中点，所以为正方形。

追问

第一问呢？

追答

第二行那些就可以证明为平行四边形了