Question

这道相似三角形的题目怎么做啊

已知三角形abc中，角bac=90度，ab=ac，d为ac上一点,ae垂直bd于e,交ac于f,连ce,若角bec=135度

（1）de/AE= ____DE/BE=______
(2)求证：d为ac的中点
（3）求cf/BF的值

图http://f.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8b82b9014a90f603e671d9043912b31bb151edb4.jpg

Answer 1

解：

（1）因为∠BEC=135°，∠AEB=90°⇒∠AEC=135°

记∠EAC=a，则∠ECA=45°-a

所以∠ECA=a=∠EAC⇒△EAC∼△ECB

⇒(AE/EC)=(EC/EB)=(CA/BC)=(1/√(2))⇒(AE/EB)=(1/2)

又因为(AE/EB)=tan∠ABE，且∠ABE=∠EAD

⇒(ED/AE)=tan∠EAD=tan∠ABE=(1/2)，(DE/BE)=(ED/AE)*(AE/BE)=(1/2)*(1/2)=(1/4)

（2）又因为(AD/BA)=tan∠ABD=tan∠ABE=(1/2)⇒2AD=BA

又因为AB=AC⇒AC=2AD⇒D为AC中点

（3）过C作CG∥AB，交AF延长线于G

易得△BAD≅△ACG⇒AD=CG

又因为D为AC中点⇒DC=GC

又因为∠GCF=∠DCF=45°，CF=CF⇒△DCF≅△GCF（SAS）

⇒∠G=∠BAG⇒BA∥CG

所以(CF/BF)=(CG/AB)=(CD/AC)=(1/2)

追问

可以不要用什么tan吗？就用相似的知识解决 太谢谢了

追答

好吧 修改版，使用射影定理
（1）因为∠BEC=135°，∠AEB=90°⇒∠AEC=135°
记∠EAC=a，则∠ECA=45°-a
所以∠ECA=a=∠EAC⇒△EAC∼△ECB
⇒(AE/EC)=(EC/EB)=(CA/BC)=(1/√(2))⇒(AE/EB)=(1/2)
又因为(AE/EB)=(ED/AE)=(1/2)，（射影定理）
(DE/BE)=(ED/AE)*(AE/BE)=(1/2)*(1/2)=(1/4)
（2）又因为(AD/BA)=(ED/AE)=(1/2)⇒2AD=BA
又因为AB=AC⇒AC=2AD⇒D为AC中点
（3）过C作CG∥AB，交AF延长线于G
易得△BAD≅△ACG⇒AD=CG
又因为D为AC中点⇒DC=GC
又因为∠GCF=∠DCF=45°，CF=CF⇒△DCF≅△GCF（SAS）
⇒∠G=∠BAG⇒BA∥CG
所以(CF/BF)=(CG/AB)=(CD/AC)=(1/2)