Question

已知abc均为正数，证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2>=6根号3，并确定abc为何值，等号成立？

Answer 1

因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ac
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac②（6分）
故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2③
≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac
≥63所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=314时，原式等号成立．（10分）

Answer 2

a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 1/a^2 + 1/b^2+1/c^2 + 2/ab+2/bc+2/ca
=a^2/3 + 1/a^2 + b^2/3 + 1/b^2 + c^2/3 + 1/c^2
+ a^2/3 + 2/ab + b^2/3 + b^2/3 + 2/bc + c^2/3 + c^2/3 + 2/ca + a^2/3
a^2/3 + 1/a^2 >= 2 * √（a^2/3 * 1/a^2）=2/√3
b^2/3 + 1/b^2 >= 2/√3
c^2/3 + 1/c^2 >= 2/√3
a^2/3 + 2/ab + b^2/3 =a^2/3 + 1/ab + 1/ab + b^2/3 >= 4 * 4次根号(1/9) = 4/√3
b^2/3 + 2/bc + c^2/3 >=4/√3
c^2/3 + 2/ca + a^2/3 >=4/√3
所有加起来就是6√3

Answer 3

abc地位相同，所以a=b=c时，等号成立