Question

如图,在梯形ABCD中,AD平行于BC,角B+角C=90度.E,F分别为AD,BC中点链接EF,如AB=8,CD=6求EF的长

急！！！！！O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

郭敦顒回答：

作DG∥AB，交BC于G，则ABGD为平行四边形，DG=AG=8

∴∠DGC=∠ABC，∵∠ABC +∠C=90°，∴∠DGC+∠C=90°，∴∠GDC=90°，

∵在Rt⊿GDC中，DG=8，CD=6，∴斜边CG=√（8²+6²）=10，

不妨设BC=20。G为BC中点，与F重合；AD=BG=20/2=10，E为AD中点，

则AE=DE=10/2=5

作DK⊥GC于K，按射影定理1，DG²=GC•GK，8²=10•GK。GK=6.4，KC=3.6，

DK=√（6.4×3.6）=4.8。

作EM⊥GC于M，则EM=DK=4.8，MK=ED=5，GM=GK－MK=6.4－5=1.6，

∴在Rt⊿EGM中，EG=√（EM²+GM²）=√（4.8²+1.6²）=5.0596，

EG即EF，

∴EF=5.0596。这是在特殊情下的结果。下面证明一般性结果——

设将AB平移至A′B′，即DA延长（或缩短）至A′，CB延长（或缩短）至B′，

且AA′=BB′=q，则相应EF平移至E′F′，且EE′=FF′=q/2，

E′为A′D中点，E′为B′C中点，

易知EE′F′F为平行四边形， E′F′=EF，

∴在一般情况下亦总是E′F′=EF=5.0596。

在“E′为A′D中点，E′为B′C中点，和E′F′”中抽去“′”符号，

∴EF=5.0596。

 

                      A′   q     A    E′   E            D

                                          q/2

                                  EF=5.0596

                        8                       8       4.8     6

                                       q/2             10

                                                  6.4        3.6  

     B′  q      B                F′  F、G  M         K        C

 

Answer 2

将ABEF沿E点旋转180°，得到EDHG，则EG=EF，即FG=2EF

∵GH平行AD平行FC

∴∠GHC+∠FCH=180°，即（∠GHD+∠FCD）+（∠CHD+∠HCD）=180°

因为∠GHD=∠B，所以∠GHD+∠FCD=∠B+∠FCD=90°

所以∠CHD+∠HCD=90°，三角形CDH为直角三角形

CH=根号下CD^2+DH^2=CD^2+AB^2=10

FG=CH=10，2EF=10

EF=5

Answer 3

通过E做AB CD 的平行线，分别交BC 于B` C` 这样，辅助的三角形B`EC`，是个直角三角形而且，可以证明F是斜边的中点，（延长AB CD得到一个大的直角三角形）。从而可以看到EF=FC`=FB`,C`B`=10 所以，EF=5

追问

必须要证明点共线啊

追答

因为两个锐角和是90度，所以大的三角形是直角三角形，斜边是中点，连接中点和直角顶点的直线，相交平行线AD，也必定是AD中点，用相似比例等方法，都可以得到。不知道，说的是否明白

Answer 4

EF=5，
过A点作AG//EF交BC与G点，作AH//DC交BC于H,证明G点为BH中点，由于角B+角C=90，所以在直角三角形BAH中，AG=5.

追问

G为中点怎么证明谢谢